【详解】半平面交算法入门详解(计算几何)

半平面交

简介

博客背景

笔者在学习半平面交时,网上找入门博客资源甚少,且大部分难以理解,故在稍稍入门了半平面交后,写此博客,希望能对大家有所帮助。若有错误,麻烦指出。

半平面交是什么?

我们知道一条直线可以把平面分为两部分,其中一半的平面就叫半平面。
那半平面交,就是多个半平面的相交部分。我们在学习线性规划时就有用过。

半平面交有什么用?

1.求解一个区域,可以看到给定图形的各个角落。(多边形的核)
2.求可以放进多边形的圆的最大半径。

求解半平面交的步骤(S&I算法 O(nlogn))

我们试着来解决 “求解一个区域,可以看到给定图形的各个角落。”
为了叙述方便,我们把这个区域叫做多边形的核。

1.选取一个正方向。(一般为逆时针)

我们用这个一个不规则图形举例子。

首先我们选逆时针方向做为有向线段。

这样选取的好处是,保证核在有向线段的左边。

2.把有向线段通过极角排序(与 $x$ 轴的夹角)(-180°,180°]

排序结果如下所示。

按照极角排序的原因是写代码方便,排序之后的线段是有序的,可以在双端队列里进行操作。(下面会再解释)。

3.按顺序遍历每条线段,取左边区域,删右边区域

我们用这个 S&I 算法求解半平面交时,用的是删减法,首先我们假设全部平面都是半平面交,然后不断加入直线,不断删去右边区域,保留左边区域。最后剩下的区域就是需要求的半平面交。

1.全部平面都是半平面交。

2.加入第一条直线,保留左边区域,删除右边区域。

3.加入第二条线段,保留左边区域,删除右边区域。

4.依次加入3 - 10线段,保留左边区域,删除右边区域。

5.加入最后一条线段,保留左边区域,删除右边区域。

6.剩下的蓝色部分,就是多边形的和,也就是所有直线的半平面交,在蓝色区域的任何一点,都可以看到多边形的每一个角落。

7.这时我们得到的是围成这个蓝色区域的直线集合。

$L = \{2,5,7,9,11\}$ ,如果至少有三条边,就说明该多边形有核(三条以上时,核为全部直线围成的凸包。)如果要求面积,我们可以将直线的交点求出来,然后再用叉积求凸包面积。

4.如果题目要求求面积。

我们可以发现求出来的直线的集合是有序的 $L = \{2,5,7,9,11\}$,这些直线刚好是逆时针围着这个半平面交。(这就是按极角排序的好处)。如果要求面积,我们可以把所有$L[i]$ 和 $L[i + 1]$ 的交点求出来,然后用叉乘求凸包面积。

5.总结

总体而言,求半平面交其实就是维护线段的集合 $L$,遍历每一条线段,判断这条线段加入后对于半平面交的影响,然后在集合 $L$ 中剔除掉对半平面交没有决定作用的边,留下起决定作用的边。即最终目的是维护半平面交的线段集合 $L$。

6.算法优化

1.同极角时,排序后可以去掉右边的线段,保留左边的线段。

例如上述步骤 3-3 时,加入第二条线段。不难发现,当①号线段和②号线段的极角相同时,①号线段没有意义。因为①号线段在②号线段右边。因此在排序后,可以去掉没有意义的线段,即保留极角相同的情况下最左边的线段。

算法实现 $S\&I$算法 $O$($nlogn$)

算法流程

1.以逆时针为正方向,建边。(输入方向不确定时,可用叉乘求面积看正负得知输入的顺逆方向。)
2.对线段根据极角排序。
3.去除极角相同的情况下,位置在右边的边。
4.用双端队列储存线段集合 $L$,遍历所有线段。
5.判断该线段加入后对半平面交的影响,(对双端队列的头部和尾部进行判断,因为线段加入是有序的。)。
6.如果某条线段对于新的半平面交没有影响,则从队列中剔除掉。
7.最后剩下的线段集合 $L$,即使最后要求的半平面交。

疑问解答

1.为什么要用双端队列?

因为线段是按照极角排序的,所以可以形成环,如图,原来的线段集合为
$L = \{1,2,3,4,5,6,7\}$。现在我们想把线段 8 加入到线段集中,显然核的形成和线段1、6、7已经没有关系了,因此我们应该在队列的头部找到线段 1,把它删去,然后在队列的尾部找到线段6、7,然后删除掉。

2.线段怎么才对半平面交没有影响?

在下图中,蓝色为当前半平面交。

当我们加入红色线段时,半平面交产生了变化。

因为我们对线段进行了排序,所以加入的线段会比前面的更“陡”。显然,如果先前的两条线段的交点在当前加入线段的右侧,则较“陡”的那条线段就会无效。

代码实现

poj3335

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 1e3;
const double EPS = 1e-5;
int T, n;
typedef struct Grid {
double x, y;
Grid(double a = 0, double b = 0) {x = a, y = b;}
} Point, Vector;
Vector operator - (Point a, Point b) {return Vector(b.x - a.x, b.y - a.y);}
double operator ^ (Vector a, Vector b) {return a.x * b.y - a.y * b.x;}//叉乘
struct Line {
Point s, e;
Line() {}
Line(Point a, Point b) {s = a, e = b;}
};
Point p[maxn];
Line L[maxn], que[maxn];

//得到极角角度
double getAngle(Vector a) {
return atan2(a.y, a.x);
}

//得到极角角度
double getAngle(Line a) {
return atan2(a.e.y - a.s.y, a.e.x - a.s.x);
}

//排序:极角小的排前面,极角相同时,最左边的排在最后面,以便去重
bool cmp(Line a, Line b) {
Vector va = a.e - a.s, vb = b.e - b.s;
double A = getAngle(va), B = getAngle(vb);
if (fabs(A - B) < EPS) return ((va) ^ (b.e - a.s)) >= 0;
return A < B;
}

//得到两直线相交的交点
Point getIntersectPoint(Line a, Line b) {
double a1 = a.s.y - a.e.y, b1 = a.e.x - a.s.x, c1 = a.s.x * a.e.y - a.e.x * a.s.y;
double a2 = b.s.y - b.e.y, b2 = b.e.x - b.s.x, c2 = b.s.x * b.e.y - b.e.x * b.s.y;
return Point((c1*b2-c2*b1)/(a2*b1-a1*b2), (a2*c1-a1*c2)/(a1*b2-a2*b1));
}

//判断 b,c 的交点是否在 a 的右边
bool onRight(Line a, Line b, Line c) {
Point o = getIntersectPoint(b, c);
if (((a.e - a.s) ^ (o - a.s)) < 0) return true;
return false;
}

bool HalfPlaneIntersection() {
sort(L, L + n, cmp);//排序
int head = 0, tail = 0, cnt = 0;//模拟双端队列
//去重,极角相同时取最后一个。
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
if (fabs(getAngle(L[i]) - getAngle(L[i + 1])) < EPS) {
continue;
}
L[cnt++] = L[i];
}
L[cnt++] = L[n - 1];


for (int i = 0; i < cnt; i++) {
//判断新加入直线产生的影响
while(tail - head > 1 && onRight(L[i], que[tail - 1], que[tail - 2])) tail--;
while(tail - head > 1 && onRight(L[i], que[head], que[head + 1])) head++;
que[tail++] = L[i];
}
//最后判断最先加入的直线和最后的直线的影响
while(tail - head > 1 && onRight(que[head], que[tail - 1], que[tail - 2])) tail--;
while(tail - head > 1 && onRight(que[tail - 1], que[head], que[head + 1])) head++;
if (tail - head < 3) return false;
return true;
}

//判断输入点的顺序,如果面积 <0,说明输入的点为逆时针,否则为顺时针
bool judge() {
double ans = 0;
for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
ans += ((p[i] - p[0]) ^ (p[i + 1] - p[0]));
}
return ans < 0;
}

int main()
{
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d", &n);
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
}

if (judge()) {//判断输入顺序,保证逆时针连边。
for (int i = 0; i < n; i++) {
L[i] = Line(p[(i + 1)%n], p[i]);
}
} else {
for (int i = 0; i < n; i++) {
L[i] = Line(p[i], p[(i + 1)%n]);
}
}

if (HalfPlaneIntersection()) printf("YES\n");
else printf("NO\n");
}

return 0;
}